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\title{高等代数二作业3}
\author{王立庆（2024级数学与应用数学1班）} 
\date{2025年3月17日 - 23日}
%\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
8. 复系数和实系数多项式的因式分解、9有理系数多项式。
\end{abstract}

\section{讲解}
\begin{enumerate}\itemsep4cm
\item  叙述代数基本定理。使用代数基本定理，证明复系数多项式的因式分解定理：每个次数大于零的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积。

\item  证明实系数多项式的因式分解定理：每个次数大于零的实系数多项式在实数域上都可以分解成一次因式和二次不可约因式的乘积。

\item  举例说明，以及证明高斯引理：两个本原多项式的乘积仍然是本原多项式。

\newpage

\item  证明：如果一个整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它也能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

\item  设 $f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ 是一个整系数多项式，设分数 $\frac{r}{s}$ 是 $f(x)=0$ 的根，其中整数 $r, s$ 互素。则有 $s\mid a_n$ 以及 $r\mid a_0$. 

\item  求多项式 $f(x)=2x^4-x^3+2x-3$ 的有理根。

\item  求多项式 $f(x)=x^3-6x^2+15x-14$ 的有理根。

\item  证明多项式 $f(x)=x^3-5x+1$ 在有理数域上不可约。

\item  证明艾森斯坦判别法：设 $f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ 是一个整系数多项式。设有素数 $p$ 使得
$p\nmid a_n, p\mid a_{n-1}, p\mid a_{n-2}, \cdots, p\mid a_0, p^2\nmid a_0, $
则 $f(x)$ 在有理数域上是不可约的。

\item  证明 $f(x)=x^n+2$ 在有理数域上是不可约的。

\item  判断多项式 $f(x)=x^6+x^3+1$ 在有理数域上是否可约。

\item  判断多项式 $f(x)=x^4+40x+1$ 在有理数域上是否可约。

\end{enumerate}

\newpage

\section{习题}
\begin{enumerate}\itemsep5cm
\item  证明：如果 $(x-1)\mid f(x^n)$, 那么 $(x^n-1)\mid f(x^n)$. 
\item  证明：如果 $(x^2+x+1)\mid f_1(x^3)+xf_2(x^3)$, 那么 $(x-1)\mid f_1(x),\, (x-1)\mid f_2(x)$. 
\item  将多项式 $f(x)=x^n-1$ 在实数和复数范围内分解因式。
\item  求多项式 $f(x)=4x^4-7x^2-5x-1$ 的有理根。
\item  求多项式 $f(x)=x^5+x^4-6x^3-14x^2-11x-3$ 的有理根。
\item  判断多项式 $f(x)=x^2+1$ 在有理数域上是否可约。
\item  判断多项式 $f(x)=x^4-8x^3+12x^2+2$ 在有理数域上是否可约。
\item  判断多项式 $f(x)=x^5+5x+1$ 在有理数域上是否可约。
\end{enumerate}

\end{document}

